統計検定2級学習用まとめ

1. 推測統計（各種分布）

t分布 (Student's t-distribution)

t分布は、母分散が未知の正規分布に従う母集団から、小標本（標本サイズ $n$ が小さい）を抽出した際の標本平均の分布を扱う際によく利用されます。

特徴: - 左右対称の釣鐘型（正規分布に似ている）。 - 正規分布よりも裾（テール）が厚い。 - 自由度 $df$ (degrees of freedom) というパラメータを持ち、$df$ が大きくなるほど標準正規分布 $N(0, 1)$ に近づきます。

数式: 自由度 $k$ のt分布の確率密度関数は以下の通りです。 $$ f(t) = \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi}\Gamma(\frac{k}{2})} \left(1 + \frac{t^2}{k}\right)^{-\frac{k+1}{2}} $$

2. 記述統計

1変数記述統計

データを一つの変数（属性）の観点から要約・把握する手法です。

代表値 (Central Tendency)
- 平均値 ($\bar{x}$): 算術平均。データの合計を個数で割った値。
  - ※用途に応じて、成長率等に用いる「幾何平均」や、平均速度等に用いる「調和平均」も出題されます。
- 中央値 (Median): データを大きさ順に並べた時の中央の値。極端な値（外れ値）の影響を受けにくい（ロバスト）。
- 最頻値 (Mode): 最も頻繁に現れる値（度数が最大の階級値）。
散布度 (Dispersion)
- 分散 ($s^2$ / $\sigma^2$): 偏差（各データと平均の差）の平方和をデータ数で割ったもの。※推測統計において母分散を推定する際は、データ数-1で割る「不偏分散」を用います。
- 標準偏差 ($s$ / $\sigma$): 分散の正の平方根。データの散らばり具合を元の単位で表します。
- 範囲 (Range): 最大値－最小値。
- 四分位範囲 (IQR) と四分位偏差: $IQR = Q_3 - Q_1$。データの中心部50%の広がりを表します。四分位偏差は $IQR / 2$ です。
- 変動係数 (CV): 標準偏差を平均値で割った値 ($CV = s / \bar{x}$)。単位が異なるデータ間や、平均のスケールが異なるデータ間での「相対的な散らばり」の比較に用います。
分布の形状・不平等度
- 歪度 (Skewness): 分布の左右非対称性を示す指標。右裾が長いと正、左裾が長いと負になります。
- 尖度 (Kurtosis): 正規分布と比べた分布の山の尖り具合（または裾の重さ）を示す指標。
- ローレンツ曲線とジニ係数: 所得などの不平等度を測る指標。ジニ係数は0（完全平等）から1（完全不平等）の値をとります。

2変数記述統計

二つの変数間の関係性（相関や連関）を要約・分析する手法です。

量的データの関係（相関）
- 散布図: 二つの変数 $x, y$ を直交座標にプロットした図。関係の傾向や外れ値を視覚的に確認できます。
- 共分散 ($S_{xy}$): 2変数の偏差の積の平均。正負の関係の方向性を示しますが、元の単位に依存します。
- 相関係数 (ピアソンの積率相関係数, $r$): 共分散を各変数の標準偏差の積で割った値。単位に依存せず、直線的な関係の強さを示します。$-1 \le r \le 1$ の範囲をとります。 $$ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2}} $$
- 順位相関係数 (スピアマンの $\rho$): データが順位（順序尺度）の場合や、非線形な単調関係を評価する場合に用いる相関係数です。
質的データの関係（連関）
- 分割表（クロス集計表）: 2つのカテゴリ変数の度数をマトリックス状にまとめた表。
- クラメールの連関係数 / ファイ係数: 分割表に基づく $\chi^2$ 統計量から算出され、質的データ間の関連の強さ（連関）を示す指標です。
単回帰分析の基礎
- 回帰直線 ($y = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x$): 一方の変数（説明変数 $x$）から他方の変数（目的変数 $y$）を予測する直線。最小二乗法により回帰係数を求めます。
- 決定係数 ($R^2$): 回帰モデルの当てはまりの良さを示す指標。単回帰の場合、ピアソンの相関係数の2乗 ($r^2$) に等しくなります。

3. 確率分布シミュレーター

各パラメータを操作し、各種確率分布の形状（PDF/PMF）の変化を直感的に確認できるシミュレーターです。

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